Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, Mặt phẳng (SBC) cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng (ABC) góc 30 độ . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

Chọn A.

Gọi I là trung điểm của BC suy ra góc giữa (SBC)và (ABC) là $SIA={30}^0.$

H là hình chiếu vuông góc của A trên SI suy ra $d\left(A,\left(SBC\right)\right)=AH=a.$

Xét tam giác AHI vuông tại H suy ra $AI=\frac{AH}{\sin {30}^0}=2a.$

Giả sử tam giác đều ABC có cạnh bằng x mà AI là đường cao suy ra $2a=x\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{4a}{\sqrt{3}}.$

Diện tích tam giác đều ABC là $S_{ABC}={\left(\frac{4a}{\sqrt{3}}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4a^2\sqrt{3}}{3}.$

Xét tam giác SAI vuông tại A suy ra $SA=AI.\tan {30}^0=\frac{2a}{\sqrt{3}}.$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.SA=\frac{1}{3}.\frac{4a^2\sqrt{3}}{3}.\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{8a^3}{9}.$