Cho hàm số f(x) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để hàm số

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Đặt $t=\frac{8x}{x^2+1}.$

Ta có: $t\text{'}=\frac{-8x^2+8}{{\left(x^2+1\right)}^2};t\text{'}=0\iff x=\pm 1.$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow t\in \left[-4;4\right].$

Xét hàm số: $h\left(t\right)=f\left(t\right)+a-1,t\in \left[-4;4\right],$ ta có: $h\text{'}\left(t\right)=f\text{'}\left(t\right).$

$h\text{'}\left(t\right)=0\iff f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}t=-4\in \left[-4;4\right]\\ t=-2\in \left[-4;4\right]\\ t=2\in \left[-4;4\right]\end{array}\right.$

$\underset{\left[-4;4\right]}{\max }\left|h\left(t\right)\right|=Max\left\{\left|a+5\right|;\left|a-5\right|\right\}.$

Yêu cầu bài toán $\iff \left\{\begin{array}{l}\left|a+5\right|\le 20\\ \left|a-5\right|\le 20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-20\le a+5\le 20\\ -20\le a-5\le 20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-25\le a\le 15\\ -15\le a\le 25\end{array}\right.\iff -15\le a\le 15$

Vậy có tất cả 31 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán.