Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3^x^2 - 2x+1 - 2(x-m) = log x^2 -2x + 3 có đúng ba nghiệm phân biệt là A. 3 B. 0 C. 2 D. 1

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Phương trình tương đương $3^{x^2-2x+3-\left(2\left|x-m\right|+2\right)}=\frac{\ln \left(2\left|x-m\right|+2\right)}{\ln \left(x^2-2x+3\right)}.$

$\iff 3^{x^2-2x+3}.\ln \left(x^2-2x+3\right)=3^{2\left|x-m\right|+2}.\ln \left(2\left|x-m\right|+2\right)\left(*\right).$

Xét hàm đặc trưng $f\left(t\right)=3^t.\ln t,t\ge 2$ là hàm số đồng biến nên từ phương trình (*) suy ra

$\iff x^2-2x+3=2\left|x-m\right|+2\iff g\left(x\right)=x^2-2x-2\left|x-m\right|+1=0.$

Có $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4x+2m+2\text{ khi }x\ge m\\ x^2-2m+1\text{ khi }x\le m\end{array}\right.\Rightarrow g\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x-4\text{ khi }x\ge m\\ 2x\text{ khi }x\le m\end{array}\right.$.

Và $g\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=2\text{ khi }x\ge m\\ x=0\text{ khi }x\le m\end{array}\right.$

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: $m\le 0$ ta có bảng biến thiên của $g\left(x\right)$ như sau:

Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thỏa mãn.

Trường hợp 2: $m\ge 2$ tương tự.

Trường hợp 3: $0<m<2,$ bảng biến thiên $g\left(x\right)$ như sau:

Phương trình có 3 nghiệm khi $\left[\begin{array}{l}{\left(m-1\right)}^2=0\\ -2m+1=0>2m-3\\ -2m+1<0=2m-3\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{1}{2}\\ m=\frac{3}{2}\end{array}\right..$