Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2;-2;4) B(-3;3;-1) C(-1;-1;-1) và mặt phẳng (P). 2x - y + 2z = 0 Xét điểm M thay đổi thuộc (P), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= 2MA^2 + M...

* Hướng dẫn giải

 Chọn A.

Gọi I là điểm thỏa mãn: $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$\iff 2\left(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI}\right)+\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI}\right)-\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\left(1;0;4\right)$

$\iff I\left(1;0;4\right).$

Khi đó, với mọi điểm $M\left(x;y;z\right)\in \left(P\right),$ ta luôn có

$T=2{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)}^2+{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)}^2-{\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}\right)}^2$

$=2{\overrightarrow{MI}}^2+2\overrightarrow{MI}.\left(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}\right)+2{\overrightarrow{IA}}^2+{\overrightarrow{IB}}^2-{\overrightarrow{IC}}^2$

$=2M{I}^2+2I{A}^2+I{B}^2-I{C}^2.$

Ta tính được $2I{A}^2+I{B}^2-I{C}^2=30.$

Do đó, T đạt GTNN $\iff MI$ đạt GTNN $\iff MI\perp \left(P\right).$

Lúc này, $IM=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.1-0+2.4+8\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=6.$

Vậy $T_{\min }={2.6}^2+30=102.$