Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log2(X^2+3x+2m)=log2(x+m) có nghiệm?

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}{x}^2-3x+2m>0\\ x+m>0\end{array}\left(1\right).$

Ta có: ${\log }_2(x^2-3x+2m)={\log }_2(x+m)$

      $\iff x^2-3x+2m=x+m$

      $\iff x^2-4x+m=0\iff m=-x^2+4x.$

Thay $m=-x^2+4x$ vào (1) ta có:

$\{\begin{array}{l}{x}^2-3x+2(-x^2+4x)>0\\ x-x^2+4x>0\end{array}\iff -x^2+5x>0\iff 0<x<5.$

Xét hàm số $f\left(x\right)=-x^2+4x$ trên $(0;5).$

$f\text{'}\left(x\right)=-2x+4;f\text{'}\left(x\right)=0\iff x=2.$

Bảng biến thiên

 

Phương trình đã cho có nghiệm $\iff -5<m\le 4.$

Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}.$

Đáp án B