Cho a,b là hai số thực dương thỏa mãn log5(4a+3b+5)/a+b=a+3b-4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có ${\log }_5\left(\frac{4a+2b+5}{a+b}\right)=a+3b-4\iff {\log }_5(4a+2b+5)-{\log }_5(a+b)=a+3b-4$

$\iff {\log }_5(4a+2b+5)+(4a+2b+5)={\log }_5(a+b)+5a+5b+1$

$\iff {\log }_5(4a+2b+5)+(4a+2b+5)={\log }_5(5a+5b)+(5a+5b)$ (1)

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+{\log }_{5}t$ với $t>0.$

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=1+\frac{1}{t\ln 5}>\mathrm{0,}\forall t>0.$ Do đó $f\left(t\right)$ đồng biến trên $(0;+\infty ).$

Khi đó $\left(1\right)\iff 4a+2b+5=5a+5b\iff a=5-3b$.

Thay vào $T=a^2+b^2=10b^2-30b+25=10{(b-\frac{3}{2})}^2+\frac{5}{2}\ge \frac{5}{2}.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\\ a=\frac{1}{2}\end{array}.$

Đáp án C