Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình là

Dựa vào đồ thị ta nhận thấy $3f\left(x\right)+1>\mathrm{0,}\forall x\in ℝ.$

Do đó $\frac{f^3\left(x\right)+3f^2\left(x\right)+4f\left(x\right)+2}{\sqrt{3f\left(x\right)+1}}=3f\left(x\right)+2$

$\iff f^3\left(x\right)+3f^2\left(x\right)+3f\left(x\right)+1+f\left(x\right)+1=\sqrt{3f\left(x\right)+1}(3f\left(x\right)+1+1)$

$\iff {[f\left(x\right)+1]}^3+[f\left(x\right)+1]={\left[\sqrt{3f\left(x\right)+1}\right]}^3+\sqrt{3f\left(x\right)+1}\left(1\right).$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^3+t$ với $t\in ℝ.$

Ta có $f\text{'}\left(t\right)=3t^2+1>\mathrm{0,}\forall t\in ℝ.$ Do đó $f\left(t\right)$ đồng biến trên $ℝ.$

Khi đó $\left(1\right)\iff f\left(x\right)+1=\sqrt{3f\left(x\right)+1}\iff f^2\left(x\right)+2f\left(x\right)+1=3f\left(x\right)+1.$

$\iff f^2\left(x\right)-f\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}f\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=1\end{array}.$

 

Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm.

Đáp án B