Cho hình lập phương ABCDMNPQ cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng CNQ

Gọi $\left\{O\right\}=MP\cap NQ,\left\{H\right\}=AP\cap CO.$

Nhận xét: Hình chiếu vuông góc của AP lên mặt phẳng $\left(CDQP\right)$ là $DP\perp CQ$ suy ra $AP\perp CQ$; hình chiếu vuông góc của AP lên mặt phẳng $\left(MNPQ\right)$ là $MP\perp NQ$ suy ra $AN\perp NQ.$ Vậy $\{\begin{array}{l}AP\perp NQ\\ AP\perp CQ\\ NQ,CQ\subset \left(CNQ\right)\end{array}\Rightarrow AP\perp \left(CNQ\right)\Rightarrow d(A,\left(CNQ\right))=AH.$

Vì $AC//OP\Rightarrow \frac{AH}{HP}=\frac{AC}{OP}=2\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AP.$

Dễ thấy $AP=\sqrt{A{C}^2+A{M}^2}=a\sqrt{3}.$

Vậy $d(A,\left(CNQ\right))=AH=\frac{2}{3}a\sqrt{3}\Rightarrow d(A,\left(CNQ\right))=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$

Đáp án C