Cho hàm số f(x) liên tục trên R. A 12 B 15 C 10 D -10

Xét tích phân $A=\underset{1}{\overset{e^3}{\int }}\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx$ .

Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx$ , đổi cận $x=1\Rightarrow t=0$ , $x=e^3\Rightarrow t=3$ .

Do đó $A=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

Xét tích phân $B=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(\cos x\right).\sin xdx$ .

Đặt $u=\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx$ , đổi cận $x=0\Rightarrow u=1$ , $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow u=0$ .

Do đó $A=\underset{1}{\overset{0}{\int }}-f\left(u\right)du=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

Xét $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(f\left(x\right)+2x\right)dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{1}{\overset{3}{\int }}2xdx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx+{\left.x^2\right|}_1^3=7-3+8=12$ .