Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (|m|)<10)

ĐK: $x+2m>0$

Ta có $2^{x-1}={\log }_4\left(x+2m\right)+m\iff 2^x={\log }_2\left(x+2m\right)+2m$

Đặt $t={\log }_2\left(x+2m\right)$  ta có  $\left\{\begin{array}{l}{2}^x=t+2m\\ 2^t=x+2m\end{array}\right.\Rightarrow 2^x+x=2^t+t\left(1\right)$

Do hàm số $f\left(u\right)=2^u+u$  đồng biến trên R , nên ta có (1)$\left(1\right)\iff t=x$ .

Khi đó: $2^x=x+2m\iff 2m=2^x-x$

Xét hàm số $g\left(x\right)=2^x-x\Rightarrow g^{\text{'}}\left(x\right)=2^x\ln 2-1=0\iff x=-{\log }_2\left(\ln 2\right)$

Bảng biến thiên:

Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi $2m\ge g\left(-{\log }_2\left(\ln 2\right)\right)\iff m\ge \frac{g\left(-{\log }_2\left(\ln 2\right)\right)}{2}$ $\approx 0,457$  (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì $x+2m=2^x>0$ )

Do m  nguyên và $\left|m\right|<10$ , nên $m\in \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ .