Cho n thuộc N thỏa mãn nC1 + nC2 +nCn =1023 Tìm hệ số của x^2 trong khai triển ((12-n)x+1)^n thành đa thức.

Từ khai triển ${(1+x)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+\mathrm{...}+C_n^n{x}^n.$

Cho $x=1$ ta được ${(1+1)}^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^2=1+C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^n$

Mà $C_n^1+C_n^2+\mathrm{...}+C_n^n=1023$ nên$2^n=1024\iff n=10.$

Bài toán trở thành tìm hệ số của $x^2$  trong khai triển ${(2x+1)}^{10}$  thành đa thức.

Số hạng tổng quát trong khai triển ${(2x+1)}^{10}$  là  $C_{10}^k{\left(2x\right)}^k=C_{10}^k{2}^k{x}^k$

Từ yêu cầu bài toàn suy ra $k=2.$

Vậy hệ số của $x^2$  trong khai triển ${(2x+1)}^{10}$  thành đa thức là $C_{10}^2{2}^2=180.$

Đáp án B