Cho hàm số y=f(x) có đồ thị f'(x) như hình vẽ. Hàm số y nghịch biến trên

Đặt $g\left(x\right)=f(1-x)+\frac{x^2}{2}-x$

$g\text{'}\left(x\right)=-f\text{'}(1-x)+x-1$

$g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}(1-x)=-1(1-x)$

Xét phương trình $f\text{'}\left(x\right)=-x.$  Từ đồ thị hàm số $f\text{'}\left(x\right)$  ta có các nghiệm của phương trình này là $x=-\mathrm{3,}x=-\mathrm{1,}x=3.$

Do đó, phương trình $f\text{'}(1-x)=-(1-x)$  tương đương với $[\begin{array}{l}1-x=-3\\ 1-x=-1\\ 1-x=3\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=4\\ x=2\\ x=-2\end{array}$

Từ đó ta có bảng biến thiên sau:

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;\frac{3}{2}).$

Đáp án D