Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a căn 3. Tính khoảng cách từ điểm A đến SBC biết thể tích khối chóp bằng

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm của đoạn thẳng BC

Tam giác ABC đều cạnh $a\sqrt{3}$ nên $S_{\Delta ABC}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$ và chiều cao $AI=\frac{3a}{2}$

$OI=\frac{1}{3}AI=\frac{1}{3}\frac{3a}{2}=\frac{a}{2}.$

Thể tích của khối chóp $S.ABC=\frac{1}{2}{S}_{\Delta ABC}.SO\iff \frac{a^3\sqrt{6}}{4}=\frac{1}{2}.\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}.SO\iff SO=\sqrt{2}a$

$SI=\sqrt{S{O}^2+O{I}^2}=\sqrt{2a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{3a}{2}$

$S_{\Delta SBC}=\frac{1}{2}.SI.BC=\frac{1}{2}.\frac{3a}{2}.a\sqrt{3}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}$

Gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $\left(SBC\right)$ là h

Thể tích của khối chóp $S.ABC=\frac{1}{2}.S_{\Delta SBC}.h\iff \frac{a^3\sqrt{6}}{4}=\frac{1}{3}.\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}.h\iff h=a\sqrt{2}.$

Đáp án C