Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

* Hướng dẫn giải

Gọi $\Delta$ là đường thẳng cần tìm. Gọi$M=\Delta \cap d_1$, $N=\Delta \cap d_2$

Vì $M\in d_1$ nên $M\left(3-t;3-2t;-2+t\right)$

Vì $N\in d_2$ nên $N\left(5-3s;-1+2s;2+s\right)$

$\overrightarrow{MN}=\left(2+t-3s;-4+2t+2s;4-t+s\right)$, $\left(P\right)$ có một vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(1;2;3\right)$

Vì $\Delta \perp \left(P\right)$ nên $\overrightarrow{n},\overrightarrow{MN}$ cùng phương, do đó:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2+t-3s}{1}=\frac{-4+2t+2s}{2}\\ \frac{-4+2t+2s}{2}=\frac{4-t+s}{3}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}s=1\\ t=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}M\left(1;-1;0\right)\\ N\left(2;1;3\right)\end{array}\right.$

$\Delta$ đi qua $M$ và có một vecto chỉ phương là $\overrightarrow{MN}=\left(1;2;3\right)$