Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, vuông góc với mặt phẳng ABCD

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này tới mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia.

- Đổi tính khoảng cách từ chân đường vuông góc với mặt phẳng, sử dụng công thức $A{A}^{\text{'}}\cap \left(P\right)=M\Rightarrow \frac{d(A;\left(P\right))}{d(A^{\text{'}};\left(P\right))}=\frac{AM}{A^{\text{'}}M}$.

- Dựng khoảng cách, sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

Ta có $AB//CD\Rightarrow AB//\left(SCD\right)\supset SC$$\Rightarrow d(AB;SC)=d(AB;\left(SCD\right))=d(A;\left(SCD\right))$

Mà $AO\cap \left(SCD\right)=\left\{C\right\}\Rightarrow \frac{d(A;\left(SCD\right))}{d(O;\left(SCD\right))}=\frac{AC}{OC}=2$\[ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\]

Gọi M là trung điểm của CD.

Vì OMlà đường trung bình của tam giác $ACD\Rightarrow OM//AD\Rightarrow OM\perp CD$ và $OM=\frac{1}{2}AD=\frac{a}{2}$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}CD\perp OM\\ CD\perp SO\end{array}\Rightarrow CD\perp \left(SOM\right)$.

Trong (SOM) kẻ $OH\perp SM(H\in SM)$ ta có: $\{\begin{array}{l}OH\perp SM\\ OH\perp CD(CD\perp \left(SOM\right))\end{array}\Rightarrow OH\perp \left(SCD\right)$.

$\Rightarrow d(O;\left(SCD\right))=OH\Rightarrow d(AB;SC)=2OH$.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SOM\] ta có: $OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}}=\frac{a.\frac{a}{2}}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Vậy $d(AB;SC)=2OH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

Đáp án A.