Cho hình chóp tam giác SABC đều có cạnh bên bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 độ.

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữa cạnh bên và hình chiếu của cạnh bên trên mặt đáy.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao khối chóp, cũng chính là chiều cao hình nón.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Giải chi tiết:

Gọi O là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow SO\perp \left(ABC\right)$ và O cũng chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có $SO\perp \left(ABC\right)\Rightarrow OA$ là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC).

$\Rightarrow \angle (SA;\left(ABC\right))=\angle (SA;OA)=\angle SAO={60}^0$.

Xét $\Delta SOA$vuông tại có $\{\begin{array}{l}OA=SA.\cos {60}^0=2a.\frac{1}{2}=a\\ SO=SA.\sin {60}^0=2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\end{array}$.

Vậy khối nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$có thể tích là

$V=\frac{1}{3}\pi .O{A}^2.SO=\frac{1}{3}\pi .a^2.a\sqrt{3}=\frac{\pi a^3\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án A.