Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 5^((sinx)^2)+5^((cosx)^2)=2 căn 5 trên đoạn[0;2pi]

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

- Đặt ẩn phụ $t=5^{{\sin }^{2}x}(t\ge 1)$, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn t.

- Giải phương trình tìm t.

- Sử dụng công thức hạ bậc: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$, sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm x: $\cos x=\cos \alpha \iff x=\pm \alpha +k2\pi (k\in \mathbb{Z})$.

- Giải bất phương trình $0\le x\le 2\pi$ và tìm các nghiệm thỏa mãn.

Giải chi tiết:

Ta có:

$5^{{\sin }^{2}x}+5^{{\cos }^{2}x}=2\sqrt{5}$$\iff 5^{{\sin }^{2}x}+5^{1-{\sin }^{2}x}=2\sqrt{5}$$\iff 5^{{\sin }^{2}x}+\frac{5}{5^{{\sin }^{2}x}}=2\sqrt{5}$

Đặt $t=5^{{\sin }^{2}x}(t\ge 1)$, phương trình trở thành$t+\frac{5}{t}=2\sqrt{5}\iff t^2-2\sqrt{5}t+5=0$ $\iff {(t-\sqrt{5})}^2=0\iff t=\sqrt{5}\left(tm\right)$.

$\Rightarrow 5^{{\sin }^{2}x}=\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\iff {\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$

$\iff \frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}\iff \cos 2x=0$

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

Xét $x\in [0;2\pi ]$, ta có \[0 \le \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2} \le 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \le k \le \frac{7}{2}\]. Mà k={0;1;2;3}.

$\Rightarrow x=\{\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\}$.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn $[0;2\pi ]$là $T=\frac{\pi }{4}+\frac{3\pi }{4}+\frac{5\pi }{4}+\frac{7\pi }{4}=4\pi$.

Đáp án D.