(VDC): Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

* Hướng dẫn giải

Giải chi tiết:

Ta có:

g′(x)=(4−2x)f′(4x−x2)+x2−6x+8=−2(x−2)f′(4x−x2)+(x−2)(x−4)=(x−2)[−2f′(4x−x2)+x−4]g′(x)=(4−2x)f′(4x−x2)+x2−6x+8=−2(x−2)f′(4x−x2)+(x−2)(x−4)=(x−2)[−2f′(4x−x2)+x−4].

$g^{\text{'}}\left(x\right)=(4-2x)f^{\text{'}}(4x-x^2)+x^2-6x+8$

$=-2(x-2)f^{\text{'}}(4x-x^2)+(x-2)(x-4)$

$=(x-2)[-2f^{\text{'}}(4x-x^2)+x-4]$

Cho $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=2\\ -2f^{\text{'}}(4x-x^2)+x-4=0\end{array}$

Xét hàm số $h\left(x\right)=4x-x^2$ với $x\in [1;3]$ ta có $h^{\text{'}}\left(x\right)=4-2x=0\iff x=2$

$h\left(2\right)=4;h\left(1\right)=3;h\left(3\right)=3$

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}\underset{[1;3]}{\min }h\left(x\right)=3\\ \underset{[1;3]}{\max }h\left(x\right)=4\end{array}\Rightarrow h\left(x\right)\in [3;4]$ khi $x\in [1;3]$.

Dựa vào BBT ta thấy với \[4x - {x^2} \in \left[ {3;4} \right]\] thì $f^{\text{'}}(4x-x^2)>0\Rightarrow -2f^{\text{'}}(4x-x^2)<0$.

Lại có $x-4<0\forall x\in [1;3]$, do đó $-2f^{\text{'}}(4x-x^2)+x-4<0\forall x\in [1;3]$.

Suy ra $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff x=2$.

Vậy $\underset{[1;3]}{max}g\left(x\right)=g\left(2\right)=f\left(4\right)+5=5+5=10$.

Đáp án A.