Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số y=x^3-3x^2 tại ba điểm phân biệt

* Hướng dẫn giải

Giải chi tiết:

Xét hàm số $y=x^3-3x^2$ ta có $y^{\text{'}}=3x^2-6x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=2\end{array}$.

Ta có BBT:

Dựa vào BBT, để đường thẳng y=m cắt đồ thị $y=x^3-3x^2$ tại 3 điểm phân biệt thì $-4<m<0$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2=m\iff x^3-3x^2-m=0(*)$.

Khi đó gọi $A(a;m);B(b;m);C(c;m)(a<b<c)$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2$ và đường thẳng y=m thì ta có $\{\begin{array}{l}AB=b-a\\ BC=c-a\end{array}$.

Theo bài ra ta có: $AB=2BC\iff b-a=2(c-b)\iff a-3b+2c=0$.

Lại có a,b,c là 3 nghiệm phân biệt của phương trình (*) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\{\begin{array}{l}a+b+c=3\\ abc=m\\ ab+bc+ca=0\end{array}$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}a-3b+2c=0\\ a+b+c=3\\ ab+bc+ca=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}(a;b;c)=(1-\frac{5}{\sqrt{7}};1+\frac{1}{\sqrt{7}};1+\frac{4}{\sqrt{7}})\\ (a;b;c)=(1+\frac{5}{\sqrt{7}};1-\frac{1}{\sqrt{7}};1-\frac{4}{\sqrt{7}})\end{array}$$\Rightarrow [\begin{array}{l}m=-\frac{98+20\sqrt{7}}{49}\\ m=-\frac{98-20\sqrt{7}}{49}\end{array}\Rightarrow \sum m=-4$

Đáp án D.