Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x/(x+1) mà tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân?

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có $y=f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{{(x+1)}^2}.$

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\left( {{x_0} \ne - 1} \right)\) có dạng $y=f\text{'}\left(x_0\right)(x-x_0)+y_0.$

Do tiếp tuyến cắt $Ox,Oy$ lần lượt tại hai điểm \(A,B\) và tam giác OAB cân nên tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=x hoặc y=-x

Suy ra $[\begin{array}{l}\frac{1}{{(x_0+1)}^2}=1\\ \frac{1}{{(x_0+1)}^2}=-1\left(vn\right)\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}_0=0\\ x_0=-2\end{array}.$

Với x=1 phương trình tiếp tuyến là \(y = x\) loại vì A trùng O

Với x=-2 phương trình tiếp tuyến là y=x+2

Vậy có 1 tiếp tuyến thỏa mãn ycbt.