Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' cóAB=4a;BC=2a,AA'=2a. Tính sin của góc giữa đường thẳng BD' và mặt phẳng (A'C'D).

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi $O=A\text{'}C\text{'}\cap B\text{'}D\text{'},I=BD\text{'}\cap DO$  ta có I là trọng tâm tam giác $A\text{'}C\text{'}D$

Kẻ $DH\perp A\text{'}C\text{'};D\text{'}K\perp DH\Rightarrow D\text{'}K\perp (DA\text{'}C\text{'})$

Vậy góc $(BD\text{'},(DA\text{'}C\text{'}))=\angle D\text{'}IK$

$D\text{'}I=\frac{1}{3}BD\text{'}=\frac{2\sqrt{6}}{3}a;\frac{1}{HD{\text{'}}^2}=\frac{1}{A\text{'}D{\text{'}}^2}+\frac{1}{D\text{'}C{\text{'}}^2}\Rightarrow D\text{'}H=\frac{4\sqrt{5}}{5}a$

$\frac{1}{D\text{'}{K}^2}=\frac{1}{D\text{'}{D}^2}+\frac{1}{D\text{'}{H}^2}\Rightarrow D\text{'}K=\frac{4}{3}a$

$\sin \alpha =\frac{D\text{'}K}{D\text{'}I}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$