Cho các số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: $y>\mathrm{0,}x>-\sqrt[3]{2}$

Từ giả thiết ta có: $\begin{array}{l}\ln y+\ln 3\ge \ln \left(x^3+2\right)\\ \iff \ln 3y\ge \ln \left(x^3+2\right)\\ \iff 3y\ge x^3+2\iff 3\left(y-x\right)\ge x^3-3x+2\end{array}$

Xét hàm số $h\left(x\right)=x^3-3x+2$ trên  $\left(-\sqrt[3]{2};+\infty \right).$

Ta có: $h\text{'}\left(x\right)=3x^2-\mathrm{3,}h\text{'}\left(x\right)=0\iff 3x^2-3=0\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}\right..$

          $h\left(-1\right)=\mathrm{4,}h\left(1\right)=\mathrm{0,}h\left(-\sqrt[3]{2}\right)=3\sqrt[3]{2}>0.$

Bảng biến thiên: