Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R là f(x)=m^2*x^4-m*(m-2)x^3+2(m+1)x^2-(m+2)x+m. Số các giá trị

* Hướng dẫn giải

Hàm số y=f(x) đồng biến trên $ℝ\iff f\text{'}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ.$

$\iff m^2{x}^4-m(m+2)x^3+2(m+1)x^2-(m+2)x+m\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ$

$\iff (x-1)(m^2{x}^3-2mx+2x-m)\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ$ (1)

Đặt $g\left(x\right)=m^2{x}^3-2mx+2x-m.$

Từ (1) suy ra \(g\left( 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\)

Thử lại, với \(m = 1\) thì

$\left(1\right)\iff (x-1)(x^3-2x+2x-1)\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ\iff {(x-1)}^2(x^2+x+1),\forall x\in ℝ.$

Điều này luôn đúng.

Thử lại, với m=2 thì

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2{x^3} - x - 1} \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + {{(x + 1)}^2}} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\)

Điều này luôn đúng.

Vậy $m=\mathrm{1,}m=2$ thỏa mãn bài toán.

Đáp án D