Biết điểm M(0;4) là điểm cực đại của đồ thị hàm số f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2. Tính

* Hướng dẫn giải

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\)

Điều kiện cần để điểm $M(0;4)$ là điểm cực đại của hàm số f(x) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 0\\f\left( 0 \right) = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\{a^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Điều kiện đủ.

Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}$ ta có $f\left(x\right)=x^3+2x^2+\mathrm{4,}f\text{'}\left(x\right)=3x^2+4x,f\text{'}\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=-\frac{4}{3}\end{array}$

Bảng xét dấu $f\text{'}\left(x\right)$

Vậy \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 4 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 13.\)Nên $M(0;4)$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (loại).

Đáp án D