Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật cạnh AB=1;AD=2 .SA vuông góc với mặt phẳng ABCD

* Hướng dẫn giải

Ta có: $V_{S.ABD}=\frac{1}{6}AS.AB.AD=\frac{1}{6}\times 2\times 2\times 1=\frac{2}{3}.$

+) \(\frac{{BP}}{{BD}} = \frac{{A{B^2}}}{{B{D^2}}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{B^2} + A{D^2}}} = \frac{1}{5} \Rightarrow BP = \frac{1}{5}BD,\) suy ra:

$S_{\Delta ABP}=\frac{1}{5}{S}_{\Delta ABD}=\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}.AB.AD=\frac{1}{5};S_{\Delta APD}=\frac{4}{5}{S}_{\Delta ABD}=\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}.AB.AD=\frac{4}{5}.$

Tam giác SAD vuông cân tại A nên \(\frac{{SN}}{{SD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {N;\left( {ABCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}SA = 1.\)

+) $\frac{BM}{BS}=\frac{B{A}^2}{B{S}^2}=\frac{B{A}^2}{S{A}^2+A{B}^2}=\frac{1}{5}\Rightarrow d(M;\left(ABCD\right))=\frac{1}{5}SA=\frac{2}{5}.$

Suy ra: $V_{M.ABP}=\frac{1}{3}d(M;\left(ABCD\right)).S_{\Delta ABP}=\frac{1}{3}.\frac{2}{5}.\frac{1}{5}=\frac{2}{75}.$

$V_{N.APD}=\frac{1}{3}d(N;\left(ABCD\right)).S_{\Delta ADP}=\frac{1}{3}\mathrm{.1.}\frac{4}{5}=\frac{4}{15}.$

$V_{S.AMN}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}.V_{S.ABD}=\frac{4}{5}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{4}{15}.$

Vậy $V_{A.MNP}=V_{S.ABD}-V_{M.ABP}-V_{N.APD}-V_{S.AMN}=\frac{2}{3}-\frac{2}{75}-\frac{4}{15}-\frac{4}{15}=\frac{8}{75}.$

Đáp án A