Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên m phương trình

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = \sqrt 2 \sin x + \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{2},\) ta có:

$t-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}(\frac{2\sqrt{2}}{3}\sin x+\frac{1}{3}\cos x)=\frac{3}{2}(\sin x\cos \alpha +\cos x\sin \alpha )$ (Với $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3})$

$\iff t-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sin (x+\alpha ).$

Suy ra: $-\frac{3}{2}\le t-\frac{1}{2}\le \frac{3}{2}\iff -1\le t\le 2.$

Từ đồ thị hàm số suy ra: $t\in [-1;2]\iff -1\le f\left(t\right)\le 5.$

Vậy để phương trình $f(\sqrt{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2})=f\left(m\right)$ có nghiệm thì $-1\le f\left(m\right)\le 5.$

Từ đồ thị suy ra: \(m \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}.\) Vậy có 6 giá trị nguyên của m.

Đáp án C