Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ. Bất phương trình f(x)+x^2+3

* Hướng dẫn giải

Đặt $h\left(x\right)=f\left(x\right)+x^2+3.$

Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng $\forall x\in (-1;1)$ khi và chỉ khi $m>\underset{(-1;1)}{\max }h\left(x\right).$

Ta có: $h\text{'}\left(x\right)=f\text{'}\left(x\right)+2x,h\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(x\right)+2x=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}.$

+) $h\text{'}\left(x\right)>0\iff f\text{'}\left(x\right)+2x>0\iff f\text{'}\left(x\right)>-2x$

+) \(h'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 2x < 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) < - 2x\)

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra: $\underset{(-1;1)}{\max }h\left(x\right)=h\left(0\right)=f\left(0\right)+3.$

Vậy $m>f\left(0\right)+3.$

Đáp án D