Cho hai số thực thỏa mãn 2y^3+7y+2x*căn(1-x)=3*căn(1-x)+3*92y^2+1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(x \le 1.\)

Ta có: $2y^3+7y+2x\sqrt{1-x}=3\sqrt{1-x}+3(2y^2+1)$

\( \Leftrightarrow 2{\left( {y - 1} \right)^3} + y - 1 = 2{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^3} + \sqrt {1 - x} {\rm{ }}\left( * \right)\)

Xét hàm số $f\left(t\right)=2t^3+t,$ta có: $f\text{'}\left(t\right)=6t^2+1>0\forall \text{t}\in ℝ,$ suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến.

$(*)\iff f(y-1)=f\left(\sqrt{1-x}\right)\iff y-1=\sqrt{1-x}\iff \{\begin{array}{l}y\ge 1\\ x=1-{(y-1)}^2\end{array}$

Khi đó $P=x+2y=1-{(y-1)}^2+2y=4-{(y-2)}^2\le 4.$

Vậy $P_{\max }=4\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}.$

Đáp án B