Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P)

Phương trình $\left(P\right):y=a{x}^2,$

 $\left(P\right)$ qua $A\left(1;-1\right)\Rightarrow a=-1$

Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của (P) tại A là $y=f^{\text{'}}\left(1\right)\left(x-1\right)-1=-2\left(x-1\right)-1=-2x+1$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: là $\left\{\begin{array}{l}\left(P\right):y=-x^2\\ \Delta :y=-2x+1\end{array}\right.$

là $S=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(-2x+1+x^2\right)dx=\frac{1}{3}.$

Chọn đáp án C