Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn

Đặt ${\log }_3\left(x+1\right)=t\Rightarrow x=3^t-1$.

Phương trình trở thành:

$3\left(3^{2y}+2y\right)=3^t-1+3t-2\iff 3^{2y}+2y=3^{t-1}+\left(t-1\right)$.

Xét hàm số $f\left(u\right)=3^u+u\Rightarrow f^{\text{'}}\left(u\right)=3^u.\ln 3+1>0$ nên hàm số luôn đồng biến.

Vậy để $f\left(2y\right)=f\left(t-1\right)\iff 2y=t-1\iff 2y+1=t={\log }_3\left(x+1\right)$

$\Rightarrow 0\le 2y+1\le {\log }_{3}3001\Rightarrow 0\le 2y+1\le 6\Rightarrow y=\left\{0;1;2\right\}$

Với mỗi nghiệm y ta tìm được một nghiệm x tương ứng.

Chọn đáp án A