Cho phương trình log 3^2x - (2m + 1)(log 3x) + m^2 + m = 0. Gọi S là tập họp các giá trị của tham số thực m để phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Đặt \(t = {\log _3}x.\) Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {2m + 1} \right)t + {m^2} + m = 0\left( * \right).\)

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm \(t\) của phương trình \(\left( * \right)\) có một nghiệm \(x >0.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta >0 \Leftrightarrow \Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} + m} \right) = 1 >0.\)

Vậy phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m.\)

Khi đó \({t_1} = \frac{{2m + 1 + 1}}{2} = m + 1 \Rightarrow {x_1} = {3^{m + 1}};{t_2} = \frac{{2m + 1 - 1}}{2} = m \Rightarrow {x_2} = {3^m}\) với \({x_1} < {x_2}.\)

Theo đề bài

\(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 3} \right) = 48 \Leftrightarrow \left( {{3^m} + 1} \right)\left( {{3^{m + 1}} + 3} \right) = 48 \Leftrightarrow {3.3^{2m}} + {6.3^m} - 45 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^m} = 3\\{3^m} = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Kết luận: Số phần tử của tập \(S\) là 1.