Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABClà tam giác vuông cân tại B có AC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a.

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc \(SB,\) cắt \(SB\) tại \(K.\)

Từ \(K\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(SB\) cắt \(SC\) tại \(H.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB,\) suy ra \(BC//HK.\)

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) nên \(AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 .\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \[SAB\] ta có:

\(S{A^2} = SK.SB \Leftrightarrow \frac{{SK}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \frac{{S{A^2}}}{{A{B^2} + A{S^2}}} = \frac{{4{a^2}}}{{2{a^2} + 4{a^2}}} = \frac{2}{3}.\)

Vì \(BC//HK\) nên \(\frac{{SH}}{{SC}} = \frac{{SK}}{{SB}} = \frac{2}{3}.\)

Ta có: \(\frac{{{V_1}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SK}}{{SB}}.\frac{{SH}}{{SC}} = 1.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_1} = \frac{4}{9}{V_{S.ABC}} \Rightarrow {V_2} = \frac{5}{9}{V_{S.ABC}}.\)

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{5}.\)