Phương trình 1/2*log (căn của 3)(x+3) + 1/2log9((x-1)^4) = 2log9(4x) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

* Hướng dẫn giải

Đáp ánC.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3 >0\\x - 1 \ne 0\\4x >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >- 3\\x \ne 1\\x >0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \ne 1.\)

Ta có: \(\frac{1}{2}{\log _{\sqrt 3 }}\left( {x + 3} \right) + \frac{1}{2}{\log _9}{\left( {x - 1} \right)^4} = 2{\log _9}\left( {4x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 3} \right) + {\log _3}\left| {x - 1} \right| = {\log _3}\left( {4x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 3} \right)\left| {x - 1} \right| = {\log _3}\left( {4x} \right) \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left| {x - 1} \right| = 4x\left( * \right).\)

Trường hợp 1: Nếu \(x >1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) = 4x \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\left( {loa\"i i} \right)\\x = 3\end{array} \right.\)

Trường hợp 2: Nếu \(0 < x < 1\) thì

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {1 - x} \right) = 4x \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3 - 2\sqrt 3 \left( {loa\"i i} \right)\\x = - 3 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm thực.