Cho khối chóp S.ABC có góc ASB = góc BSC = góc CSA = 60^0, SA = a, SB = 2a, SC = 4a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Lấy trên \(SB,SC\) hai điểm \(E,F\) sao cho \(SE = SF = SA = a.\) Do \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0}\) nên tứ diện \(SAEF\) là tứ diện đều có cạnh bằng \(a.\)

Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống mặt phẳng \(\left( {AEF} \right).\) Thể tích khối tứ diện \(SAEF\) bằng:

\({V_{SAEF}} = \frac{1}{3}SH.{S_{AEF}} = \frac{1}{3}.\sqrt {S{A^2} - A{H^2}} .{S_{AEF}} = \frac{1}{3}.\sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{3}} .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Lại có: \(\frac{{{V_{SAEF}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SE}}{{SB}}.\frac{{SF}}{{SC}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{SABC}} = 8.{V_{SAEF}} = \frac{{2{a^3}\sqrt 2 }}{3}.\)