Đồ thị hàm số y = x^4 + 2mx^2 + 3m^2 có ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận G(0;7) làm trọng tâm khi và chỉ khi

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Ta có: \(y = {x^4} + 2m{x^2} + 3{m^2} \Rightarrow y' = 4{x^3} + 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = - m\end{array} \right..\)

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì \(m < 0.\) Khi đó tọa độ ba điểm cực trị là: \(A\left( {0;3{m^2}} \right);B\left( { - \sqrt { - m} ;2{m^2}} \right);C\left( {\sqrt { - m} ;2{m^2}} \right).\)

Vì ba điểm cực trị lập thành tam giác nhận \(G\left( {0;7} \right)\) làm trọng tâm nên

\(\left\{ \begin{array}{l}3{x_G} = {x_A} + {x_B} + {x_C}\\3{y_G} = {y_A} + {y_B} + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 0\\7{m^2} = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \) mà \(m < 0\) do đó \(m = - \sqrt 3 .\)