Số các số phức thỏa mãn hệ điều kiện |z|=1 là: A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

Phương pháp giải:

Đặt z theo dạng tổng quát $z=a+bi$ rồi giải hệ đã cho.

Tìm được a và b.

Từ đó tìm ra số các số phức z thỏa mãn.

Giải chi tiết:

Đặt $z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}=\frac{{(a+bi)}^2+{(a-bi)}^2}{a^2+b^2}=\frac{2\left(a^2-b^2\right)}{a^2+b^2}$

Hệ đã cho $\iff \left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1\\ \left|2\left(a^2-b^2\right)\right|=\sqrt{3}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{b}^2=1-a^2\\ 2a^2-2\left(1-a^2\right)=\pm \sqrt{3}\end{array}\right.\right.$

Có 4 cặp (a;b) thỏa mãn hệ này. Suy ra có 4 số phức cần tìm.