Tứ điện đều ABCD có cạnh a . Mặt cầu (S) tiếp xúc với AB, AC, AD lần lượt tại B,C,D giới hạn nên một hình cầu có thể tích là

Phương pháp giải:

Tính bán kính mặt cầu

Áp dụng công thức thể tích

Giải chi tiết:

Gọi H là tâm tam giác đều BCD suy ra AH ⊥ (BCD)

Trong (ABH) kẻ BI vuông góc AB (I ∈ AH) thì I là tâm mặt cầu cần tìm

Ta có $BH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Lại có

$\frac{1}{B{H}^2}=\frac{1}{B{A}^2}+\frac{1}{B{I}^2}\Rightarrow R=BI=\frac{BA.BH}{\sqrt{B{A}^2-B{H}^2}}=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ 

Thể tích khối cầu cần tính là $V=\frac{4}{3}\pi R_3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^3=\frac{\pi a^3\sqrt{2}}{3}$