Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 3

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$ 

Tách các bộ số chia hết cho 3, chia 3 dư 1 và chia 3 dư 2.

Bước 2: Xét các trường hợp bộ số chia hết cho 3

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c=\text{{}3;6;9\}$

+) $a,b,c\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{1;4;7\right\}$ 

+) $a,b,c\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{2;5;8\right\}$.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

Giải chi tiết:

Bước 1:

Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$

Từ các số bài cho ta chia thành 3 bộ số:

+ Bộ số chia hết cho 3 là: 3; 6; 9

+ Bộ số chia cho 3 dư 1 là: 1; 4; 7

+ Bộ số chia cho 3 dư 2 là: 2; 5; 8

Bước 2:

Xét các trường hợp sau:

+) a, b, c đều chia hết cho 3 $\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c=\text{{}3;6;9\}$ Có 3! số.

+) $a,b,c\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{1;4;7\right\}$=> Có 3! số.

+) $a,b,c\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)\Rightarrow a,\text{}b,\text{}c\in \left\{2;5;8\right\}$ ⇒ Có 3!số.

+) Trong 3 số a, b, c có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2  

$3!.C_3^1.C_3^1.C_3^1=162$ 

Vậy có 3.3!+162=180 số thỏa mãn đề bài.