Cho S là tập nghiệm của bất phương trình log5(x^2+2x+3) > log5(x^2+4x+2+m)-1 . Số giá trị nguyên của tham số m

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số và tìm điều kiện của m.

Bước 3: Dựa vào điều kiện nguyên của m và (1;2)⊂S tìm m.

Giải chi tiết:

Bước 1: Điều kiện

 $x^2+4x+2+m>0$ 

Bước 2:  Ta có:

$\begin{array}{l}{\log }_5\left(x^2+2x+3\right)>{\log }_5\left(x^2+4x+2+m\right)-1\\ \iff {\log }_5\left(x^2+2x+3\right)+{\log }_{5}5>{\log }_5\left(x^2+4x+2+m\right)\\ \iff {\log }_5\left[5\left(x^2+2x+3\right)\right]>{\log }_5\left(x^2+4x+2+m\right)\\ \iff 5\left(x^2+2x+3\right)>x^2+4x+2+m\\ \iff 4x^2+6x+13-m>0\end{array}$

Bước 3 : Vì $(1;2)\subset S$ nên bài toán trở thành tìm m nguyên để hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}^2+4x+2+m>0\\ 4x^2+6x+13-m>0\end{array}\right.$ nghiệm đúng với mọi $x\in (1;2)$

Tương đương với hai bất phương trình: $x^2+4x+2+m>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in (1;2)$ và bất phương trình $4x^2+6x+13-m>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in (1;2)$

Ta xét $x^2+4x+2+m>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in (1;2)$

$\begin{array}{l}\iff m>-x^2-4x-2\forall x\in (1;2)\\ \iff m>\underset{\text{[}1;2]}{m\text{ax}}\left(-x^2-4x-2\right)\\ \iff m>-7\end{array}$

Tương tự với $4x^2+6x+13-m>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in (1;2)$

Ta có $m<4x^2+6x+13\forall x\in (1;2)$

$\begin{array}{l}\iff m<\underset{{}_{[1;2]}}{\min }\left(4x^2+6x+13\right)\\ \iff m<23\end{array}$

Vậy $-7<m<23$ 

Vì m nguyên nên m là các số nguyên thỏa mãn −6≤m≤22, tức là có 22−(−6)+1=29 giá trị của m thỏa mãn bài toán.