Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho 4 điểm A(1;5;4), B(-3;1;4), C(5;4;1), D(-2;1;-3). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

* Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB, BC, CD.

Bước 2: Khi đó giao điểm I của 3 mặt phẳng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, tìm bán kính IA.

Giải chi tiết:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AB, BC, CD.

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-4;-4;0);\overrightarrow{BC}=(8;3;-3);\overrightarrow{CD}=(-7;-3;-4)$

Trung điểm của AB là: $\text{M}(-1;3;4)$

Trung điểm của BC là: $N\left(1;\frac{5}{2};\frac{5}{2}\right)$

Trung điểm của AB là: $P\left(\frac{3}{2};\frac{5}{2};-1\right)$

Phương trình mặt phẳng trung trực của $\text{AB}:(x+1)+(y-3)=0\iff x+y-2=0$

Phương trình mặt phẳng trung trực của $\text{BC}:8(x-1)+3\left(y-\frac{5}{2}\right)-3\left(z-\frac{5}{2}\right)=0$ $\iff 8x+3y-3z-8=0$

Phương trình mặt phẳng trung trực của CD: $7\left(x-\frac{3}{2}\right)+3\left(y-\frac{5}{2}\right)+4(z+1)=0$ $\iff 7x+3y+4z-14=0$

Bước 2: Khi đó giao điểm I của 3 mặt phẳng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $A B C D$, tìm bán kính IA.

Gọi I là giao điểm của 3 mặt phẳng trung trực vừa tìm được

Khi đó ta có tọa độ của I thỏa mãn hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ 8x+3y-3z-8=0\\ 7x+3y+4z-14=0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\\ z=1\end{array}\right.\right.$ $\Rightarrow I(1;1;1)\Rightarrow IA=\sqrt{0^2+4^2+3^2}=5$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 5.