Cho một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng a. Người ta cắt 4 góc của tấm tôn để được một tấm tôn mới như hình vẽ

Phương pháp giải:

Gọi x là độ dài của cạnh đáy của khối chóp

hh là chiều cao của khối chóp, h′ là chiều cao của tam giác cân ở mặt bên của khối chóp.

Bước 1: Biểu diễn h và thể tích V của khối chóp theo a và x

Bước 2: Tìm max của $f\left(x\right)=-2a{x}^5+a^2{x}^4$ với x>0

$V_{\max }\iff f{\left(x\right)}_{\max }$ 

Bước 3: Tìm phần diện tích bị bỏ

Giải chi tiết:

Gọi x là độ dài của cạnh đáy của khối chóp

h là chiều cao của khối chóp, h′ là chiều cao của tam giác cân ở mặt bên của khối chóp.

Bước 1: Biểu diễn h và thể tích V của khối chóp theo a và x

Ta có: $x+2h^{\text{'}}=a\Rightarrow h^{\text{'}}=\frac{a-x}{2}$

Ta có: $h^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2={\left(\frac{a-x}{2}\right)}^2\iff h=\sqrt{{\left(\frac{a-x}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{a^2-2ax}}{2}$ 

Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{a^2-2ax}}{2}\cdot x^2=\frac{1}{6}\sqrt{-2a{x}^5+a^2{x}^4}$

Bước 2: Tìm max của $f\left(x\right)=-2a{x}^5+a^2{x}^4$ với x > 0.

Xét hàm số $f\left(x\right)=-2a{x}^5+a^2{x}^4$ với x > 0

$V_{\max }\iff f{\left(x\right)}_{\max }$

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=-10a{x}^4+4a^2{x}^3,f^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{2a}{5}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \max f\left(x\right)=f\left(\frac{2a}{5}\right)=\frac{16a^6}{3125}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{2a}{5}$

Bước 3: Tìm phần diện tích bị bỏ $\Rightarrow S=x^2+4\cdot \frac{1}{2}.x.\frac{a-x}{2}=\frac{2a^2}{5}$

Vậy diện tích bị bỏ là $\frac{3a^2}{5}$.

Chọn B