Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh . Biết SH vuông góc ABC với H thuộc cạnh AB thỏa mãn . Góc tạo bởi SA và mặt phẳng

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh HF⊥(SAK)

Bước 2: Chứng tỏ $d\left(BC,SA\right)=3d\left(H,\left(SAK\right)\right)$ và tìm khoảng cách .

Giải chi tiết:

Kẻ Ax song song với BC

Kẻ HK vuông góc với Ax, kẻ HF vuông góc với SK.

Bước 1: Chứng minh HF⊥(SAK)

Ta có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}HK\perp Ax\\ SH\perp Ax\end{array}\Rightarrow Ax\perp \left(SHK\right)\Rightarrow AK\perp HF\right.\\ \left\{\begin{array}{l}AK\perp HF\\ HF\perp SK\end{array}\Rightarrow HF\perp \left(SAK\right)\right.\end{array}$

Bước 2: Chứng tỏ $d(BC,SA)=3d(H,(SAK\left)\right)$ và tìm khoảng cách.

$d(BC,SA)=d(BC,(SAK\left)\right)=d(B,(SAK\left)\right)=3d(H,(SAK\left)\right)$

Ta có $AB=a\Rightarrow AH=\frac{a}{3}$

Tam giác ABC đều nên $\angle ABC={60}^{°}\Rightarrow \angle HAK={60}^{°}$

$\Rightarrow HK=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot AH=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{3}a=\frac{a}{2\sqrt{3}}$

Góc tạo bởi SA và ( ABC ) bằng ${60}^{°}$ nên $SH=\sqrt{3}AH=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Áp dụng HTL trong tam giác vuông SHK ta có:

$\frac{1}{H{F}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{K}^2}=\frac{3}{a^2}+\frac{12}{a^2}=\frac{15}{a^2}\Rightarrow HF=\frac{a\sqrt{15}}{15}$

Vậy $d(BC,SA)=3\cdot \frac{a\sqrt{15}}{15}=\frac{a\sqrt{15}}{5}$.

Chọn C