Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3

Câu hỏi :

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có diện tích bằng $2\sqrt{6}$. Khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng thiết diện là

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Dựng hình nón đỉnh O như hình vẽ ta có: $OI\perp \left(I;R\right)$.

Theo giả thiết ta có: $h=OI=4$, $R=IA=IB=3$

Gọi M là trung điểm AB $\Rightarrow MI\perp AB$

$\Rightarrow AB\perp \left(OMI\right)\Rightarrow AB\perp OM$

Dựng $IH\perp OM\Rightarrow d=IH$, đặt $IM=x\Rightarrow OM=\sqrt{x^2+16}$

Lại có: $MB=\sqrt{9-x^2}\Rightarrow S_{OAB}=OM.MB$

$=\sqrt{x^2+16}.\sqrt{9-x^2}=2\sqrt{6}\iff \left(x^2+16\right)\left(9-x^2\right)=24$

$\iff -x^4-7x^2+120=0\underset{}{\overset{}{\to }}{x}^2=8\iff x=2\sqrt{2}$

Suy ra $d=IH=\frac{OI.IM}{\sqrt{O{I}^2+I{M}^2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$