Cho hàm số biết hàm số đạt giá trị lớn nhất trên bằng 4 khi x = -1 và tổng bình phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 10. Hàm số đã cho là hàm số nào sau đây?

* Hướng dẫn giải

Hàm số $y=a{x}^2+bx+c,a\ne 0$là hàm số bậc 2 nên có đỉnh $I\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\text{Δ}}{4a}\right)$Vì hàm số đạt giá trị lớn nhất trên bằng 4 khi x = −1 nên đồ thị hàm số có đỉnh I(−1;4) và a < 0.

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\frac{-b}{2a}=-1\\ f\left(-1\right)=4\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}b=2a\\ a-b+c=4\end{array}\right.\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b=2a\\ a-2a+c=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}b=2a\\ c=4+a\end{array}\right.$

Xét phương trình: $y=0\iff a{x}^2+bx+c=0$có hai nghiệm $x_1;x_2\iff \text{Δ}>0\iff b^2-4ac>0.$

Áp dụng định lý Vi-et ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có:  $x_1^2+x_2^2=10\iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=10$

$\iff {\left(-\frac{b}{a}\right)}^2-\frac{2c}{a}=10$

$\iff {\left(-\frac{2a}{a}\right)}^2-\frac{2c}{a}=10$

$\iff 4a-2c=10a$

$\iff 6a+2c=0$

$\iff 6a+2(4+a)=0$

$\iff 6a+2a+8=0$

$\iff a=-1\left(tm\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}b=-2\\ c=3\end{array}\right.$

$\Rightarrow y=-x^2-2x+3$

Đáp án cần chọn là: D