Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

Do $MN//AB$ nên $EF//AB$, qua G dựng đường thẳng song song với AB cắt BC, CA lần lượt tại F, E. Khi đó $\frac{CE}{CA}=\frac{CF}{CB}=\frac{2}{3}$.

Áp dụng công thức nhanh ta có:

Do đó $V_{MNC.AB}=\frac{1}{3}{V}_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

Đặt 

Khi đó $\frac{V_{C.MNFE}}{V_{CAB.MN}}=\frac{xyzt}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)=\frac{5}{9}\Rightarrow V_{C.MNFE}=\frac{5}{9}.\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

Do đó $V_{AME.BNF}=V_{C.ABMN}-V_{C.MNEF}=\frac{\sqrt{3}}{9}{a}^3$