Cho hình nón (N) có đường cao bằng 3a/2, đáy của (N) có bán kính

Câu hỏi :

Cho hình nón (N) có đường cao bằng $\frac{3a}{2}$  đáy của (N) có bán kính bằng a. Thiết diện qua đỉnh của (N) là một tam giác nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $60°.$  Tính theo a diện tích S của tam giác này

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Thiết diện qua đỉnh của (N) là $\Delta SCD$ như hình vẽ.

Kẻ $OP\perp CD\Rightarrow \left(\widehat{\left(SCD\right);\left(OCD\right)}\right)=\widehat{SPO}=60°$ 

$\Rightarrow \tan 60°=\frac{SO}{OP}\Rightarrow OP=\frac{SO}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

$\Rightarrow CP=\sqrt{O{C}^2-O{P}^2}=\sqrt{a^2-\frac{3a^2}{4}}=\frac{a}{2}\Rightarrow CD=2CP=a.$ 

Lại có $\sin 60°=\frac{SO}{SP}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow SP=\frac{2SO}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3}.$ 

Từ $CD\perp SP\Rightarrow S_{SCD}=\frac{1}{2}CD.SP=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$