Cho các số thực a, b thỏa mãn log2 (2020- 2b^2)- 2b^2= log2

Đáp án A

ĐKXĐ: $2020-2b^2>0\iff b^2<1010\iff -\sqrt{1010}<b<\sqrt{1010}$

+ Theo đề bài ra, ta có:

${\log }_2\left(2020-2b^2\right)-2b^2={\log }_2\left(a^2+b^2+1009\right)+a^2$

$\iff 1+{\log }_2\left(1010-b^2\right)-2b^2={\log }_2\left(a^2+b^2+1009\right)+a^2$

$\iff {\log }_2\left(1010-b^2\right)+1010-b^2={\log }_2\left(a^2+b^2+1009\right)+a^2+b^2+1009\left(1\right)$

Xét hàm số sau: $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t\left(t>0\right)$

Ta thấy: $f^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{1}{t.\ln 2}+1>0,$  suy ra hàm số $f\left(t\right)={\log }_{2}t+t$  đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Do đó:

$\left(1\right)\iff 1010-b^2=a^2+b^2+1009$

$\iff a^2+2b^2=1$

+ Khi đó: $P=a^3+a^{2}b+2a{b}^2+2b^3+1=\left(a+b\right)\left(a^2+2b^2\right)+1=a+b+1$

Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\left\{a;\sqrt{2}b\right\}$  và $\left\{1;\frac{1}{\sqrt{2}}\right\},$  ta có:

 $\Rightarrow -\sqrt{\frac{3}{2}}\le a+b\le \sqrt{\frac{3}{2}}$

Do đó: $P=a+b+1\le \sqrt{\frac{3}{2}}+1\in \left(2;3\right)$

Suy ra: $MinP=\sqrt{\frac{3}{2}}+1\in \left(2;3\right)$  khi $a=\frac{\sqrt{6}}{3},b=\frac{\sqrt{6}}{6}.$