Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=3, AD=4 và các cạnh bên

Đáp án D

Các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt phẳng đáy góc 60°.

Kẻ $SH\perp \left(ABCD\right)$ Þ H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

Trên $\left(SHD\right)$, đường trung trực của đoạn thẳng SD cắt SH tại O thì O là tâm mặt cầu.

Ta có $\Delta SHD~\Delta SPO\Rightarrow \frac{SH}{SP}=\frac{SD}{SO}\Rightarrow SO=\frac{SP.SD}{SH}=\frac{S{D}^2}{2SH}$.

Cạnh $HD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{C{D}^2+B{C}^2}=\frac{5}{2}$.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\tan 60°=\frac{SH}{HD}\Rightarrow SH=\frac{5\sqrt{3}}{2}\\ \cos 60°=\frac{HD}{SD}\Rightarrow SD=5\end{array}\right.\Rightarrow R=SO=\frac{5\sqrt{3}}{3}\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{500\pi \sqrt{3}}{27}$.