Xét các số phức z thỏa mãn |z|=1 . Đặt w=(2z-i)/(2+iz) , giá trị lớn nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có $w=\frac{2z-i}{2+iz}\iff w\left(2+iz\right)=2z-i\iff 2w+wiz=2z-i$

Đặt $w=x+yi\left(x,y\in ℝ\right)\Rightarrow 2\left(x+yi\right)+\left(x+yi\right)iz=2z-i$

$\iff 2x+2yi+xzi-yz=2z-i\iff 2x+\left(2y+1\right)i=z\left(y+2+xi\right)$

$\Rightarrow \left|2x+\left(2y+1\right)i\right|=\left|z\left(y+2+xi\right)\right|=\left|z\right|.\left|y+2+xi\right|$

$\Rightarrow \sqrt{4x^2+{\left(2y+1\right)}^2}=1.\sqrt{{\left(y+2\right)}^2+x^2}\iff x^2+y^2=1$.

Vậy w thuộc đường tròn tâm $O\left(0;0\right)$ bán kính $R=1\Rightarrow P_{\max }=3+1=4$