Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A(5;6;-5) và M là điểm thuộc mặt phẳng

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2+z^2=9$ có tâm $I\left(2;4;0\right)$ và bán kính $R=\sqrt{62}$.

Giao tuyến của (S) và (P) là một đường tròn (C) có tâm J và bán kính r. Khi đó M là một điểm di động trên đường tròn (C).

Tâm J là hình chiếu vuông góc của I trên (P) $\Rightarrow IJ:\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=4+2t\\ z=-t\end{array}\right.\Rightarrow J\left(2+t;4+2t;-t\right)$

Cho $J\in \left(P\right)\Rightarrow t+2+4t+8+t-4=0\iff t=-1\Rightarrow J\left(1;2;1\right)$.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (P). 

$\Rightarrow AH:\left\{\begin{array}{l}x=5+u\\ y=6+2u\\ z=-5-u\end{array}\right.\Rightarrow H\left(5+u;6+2u;-5-u\right)$

Giải $H\in \left(P\right)\Rightarrow u+5+4u+12+u+5-4=0\Rightarrow u=-3\Rightarrow H\left(2;0;-2\right)$.

Ta có: $A{M}^2=A{H}^2+H{M}^2=54+H{M}^2$

Mặt khác $H{M}_{\min }=H{M}_1=\left|HJ-r\right|$ trong đó $HJ=\sqrt{14},r=\sqrt{R^2-d^2\left(I;\left(P\right)\right)}=2\sqrt{14}$

Suy ra $AM=\sqrt{54+H{M}^2}$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{54+{\left(\sqrt{14}-2\sqrt{14}\right)}^2}=2\sqrt{17}$.